Журнал вычислительной математики и математической физики

Работа посвящена исследованию задачи для уравнения диффузии дробного порядка с неклассическими краевыми условиями. Для рассматриваемой задачи исследовано семейство разностных схем с весами. Приведен алгоритм нахождения численного решения. С помощью принципа максимума для разностной задачи получена априорная оценка, из которой следует устойчивость разностных схем и сходимость численного решения к точному в норме С.

Сравниваются интерполяционный и мозаично-скелетонный методы решения задачи о потенциальном обтекании двумерной пластины. Они сжимают плотную матрицу линейной системы, возникающую при решении методом коллокаций на неравномерной сетке. Первый метод основан на быстром преобразовании Фурье и линейной интерполяции со вспомогательной равномерной сеткой. Второй – на блочно-малоранговой аппроксимации матрицы. Оба подхода демонстрируют эффективность по времени и памяти, но выделяют различные структуры в матрице, что влияет на решение линейной системы. Для использованных реализаций методов мозаично-скелетонный метод решает систему быстрее интерполяционного, но потребляет больше памяти, а время его работы гораздо заметнее растет с увеличением размера системы.

В статье рассматривается безытерационный метод декомпозиции области с налетанием подобластей для решения многомерных параболических задач. По своей структуре метод аналогичен схеме покомпонентного расщепления с использованием гладкого разбиения единицы. Сам метод известен уже давно, но ранее не был опубликован ряд важных технических деталей, связанных с конструкцией разбиения области на подобласти, обеспечивающей гладкое разбиение единицы. В данной работе эти детали приведены в виде набора доказанных утверждений. Описан процесс получения оценки погрешности, детали которого также раньше не были опубликованы.

Сформулированы понятия хаотических систем и систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Рассмотрена хаотическая система Чена. Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающая нулевое решение, которое неустойчиво по Ляпунову. Ставится задача стабилизации этого решения. Эта задача решена двумя методами: с помощью импульсных воздействий в фиксированные моменты времени и с помощью импульсных воздействий, которые происходят на некотором множестве фазового пространства.

Рассмотрены алгоритмы расчета распространения эпидемий и анализ последствий введения или снятия ограничительных мер на основе SIR-модели и уравнения Гамильтона–Якоби–Беллиана. После изучения идентифицируемости и чувствительности SIR-моделей, корректности в окрестности точного решения и сходимости численных алгоритмов решения прямых и обратных задач, формулируется задача оптимального управления. Результаты численного моделирования показали, что управление с обратной связью может помочь определить политику вакцинации. Использование нейросетей PINN позволило в 5 раз сократить время расчетов, что представляется важным для оперативного изменения ограничительных мер.

Рассматривается квазилинейное гиперболическое уравнение, главная часть которого представляет собой чисто волновой оператор, а младшая часть содержит два нелинейных члена с коэффициентами p и q, имеющими компактный носитель, содержащийся в шаре B. Изучаются прямая задача о падении плоской волны на неоднородность, локализованную в B, и обратная задача, состоящая в определении коэффициентов p и q по информации о решении серии прямых задач, зависящих от направления падения плоской волны. Выписывается асимптотическое разложение решения прямой задачи в окрестности фронта бегущей плоской волны, и на этой основе обратная задача сводится к двум линейным задачам, решаемым последовательно одна за другой. Задача об определении коэффициента p приводится к классической задаче рентгеновской томографии, а задача об определении коэффициента q сводится к более сложной задаче интегральной геометрии. Последняя состоит в определении функции через интегралы от нее по прямым с некоторой заданной весовой функцией. Эта задача является новой, она исследуется и для нее устанавливается теорема единственности и устойчивости решения. Библ. 26.

В настоящей статье представлено современное состояние исследований в области вариационного усвоения данных наблюдений в задачах геофизической гидродинамики, развиваемых Г.И. Марууком и его научной школой на протяжении многих лет. Для разработанной в ИВМ РАН модели динамики океана представлена технология четырехмерного вариационного усвоения данных наблюдений (4D–Var), базирующаяся на сочетании методов расщепления и сопряженных уравнений. Технология включает минимизацию функционала стоимости, описывающего разность между модельным решением и данными наблюдений с ковариационными матрицами ошибок наблюдений и начального приближения. Применение метода многокомпонентного расщепления дает возможность поэтапного решения системы прямых и сопряженных уравнений. Предложены эффективные алгоритмы решения вариационных задач усвоения данных на основе современных итерационных процессов со специальным выбором итерационных параметров. Развивая идею Г.И. Маруука о поиске энергоактивных зон в океане, определяющих его теплообмен с атмосферой, разработаны новые алгоритмы исследования чувствительности модельного решения к ошибкам данных наблюдений. Методология иллюстрируется для модели гидротермодинамики Черного моря с вариационным усвоением данных для восстановления потоков тепла на поверхности моря. В заключении обсуждаются перспективы развития данного направления.

В работе исследованы диссипативно-дисперсионные свойства проекционно-характеристического метода третьего порядка аппроксимации для численного решения уравнения адвекции. Эта схема названа Cubic Polynomial Projection, она строится сеточно-характеристическим методом при использовании интерполяции Эрмита. Свойства данной схемы сравниваются с аналогичными свойствами схемы Cubic Interpolation Polynomial, широко используемой в вычислительной практике, и также основанной на эрмитовой интерполяции. Обе схемы относятся к классу характеристических, что важно для задач переноса частиц и явного учета экспоненциальной зависимости решения от оптической толщины. Вместо традиционного интерполяционного замыкания, характерного для схемы Cubic Interpolation Polynomial, при построении схемы Cubic Polynomial Projection используется замыкание ортопроектором. Это позволяет перенести данную схему на неструктурированные тетраэдальные сетки и решает проблему компланарности характеристики одной из граней ячейки, однако вдвое увеличивает требуемые ресурсы памяти в простейшем одномерном случае. В работе показано, что проекционное замыкание существенно улучшает и так весьма неплохие диссипативно-дисперсионные свойства схемы Cubic Interpolation Polynomial, существенно приближая их к диссипативно-дисперсионным свойствам точного решения уравнения адвекции. Данные выводы подтверждены численными расчетами.

В статье разработана математическая модель выжига коксовых отложений из слоя алюмосиликатного катализатора крекинга со сферической формой зерна с учетом гетерогенных детальных химических реакций. Модель является системой уравнений математической физики с начально-краевыми условиями. Для построенной математической модели разработан явно-неявный вычислительный алгоритм. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными по материальному балансу и теоретическими оценками для температуры выявило адекватность математической модели и вычислительного алгоритма.